Kubus Ajaib

Matematika, kesenangan, dan hiburan. Ketiganya ternyata dapat dirasakan sebagai satu paket pengalaman. Istilah kerennya, matematika rekreasional. Intinya mungkin seperti bilang kepada teman Anda, “Hei, tahu nggak, ternyata anu itu bla bla bla” terus dijawab “Hmmh, gitu ya, kok bisa ya. Coba lihat lagi”; atau, “Coba ulang penjelasannya, kok aku belum paham ya.” Hingga mungkin semakin banyak pelajar yang akan berujar, “Waaw, matematika, betapa menyenangkannya. Aku suka deh.” atau bahkan “Matematika, gue banget.”

Meski terkesan sederhana (atau bahkan sepele), tentu tidak demikian adanya. Apalagi kalau dianggap hanya sebagai iseng belaka, tentu tidak. Karena di baliknya ada proses penemuan yang tak bisa dibilang sederhana. Lain kata, ikut melibatkan pakar dan dalam waktu yang lumayan lama. Hanya memang bagi banyak orang (termasuk kita), hasil akhirnya tampak sebagai suatu kesenangan, yang dapat membuat mata tak lekas bosan memelototi angka.

Merangkum dari berbagai referensi, Eric W. Weisstein (MathWorld) menyajikan suatu seri menarik yang menerangkan tentang contoh-contoh matematika rekreasional. Berikut ini dua contoh di antaranya: Kubus Ajaib dan Lingkaran Ajaib.

Kubus Ajaib

Istilah yang lebih tepat sebenarnya ialah Kubus Ajaib Sempurna “Perfect Magic Cube”.
Bayangkan sebuah kubus yang memiliki n x n x n kubus kecil. Lalu dalam setiap kubus kecil itu disimpan sebuah bilangan yang berbeda satu sama lain. Bilangan itu juga terbatas dari 1 sampai n3. Nah, kubus ajaib sempurna memperlihatkan penyusunan bilangan dalam kubus-kubus kecil itu, sehingga hasil penjumlahan setiap baris, kolom, tiang kubus, diagonal bidang dan diagonal ruangnya selalu menghasilkan ANGKA YANG SAMA.

Sebagai informasi, meskipun istilah Kubus Ajaib Sempurna sudah menjadi standar dalam berbagai literatur dan publikasi (Gardner 1976, Benson and Jacoby 1981, Gardner 1988, Pickover 2002), tetapi beberapa istilah lain juga sempat dikemukakan, seperti: Kubus Myers, Kubus Diagonal Mmyers, atau Kubus Ajaib Diagonal (Heinz).

Gambar 1

Untuk kubus orde 1 (1 x 1 x 1 kubus kecil), sudah tentu ada kubus ajaib sempurnanya. Sedangkan untuk orde 2 sampai 4 tidak ada (Schroeppel 1972; Benson and Jacoby 1981, pp. 23-25; Gardner 1988). Sementara itu, kubus ajaib sempurna orde 7 dan 9, sudah ditemukan sejak akhir 1800-an, justru untuk orde 5 dan 6 baru diketahui dapat ada, baru belakangan ini (Wells 1986, p. 72). Meskipun Schroeppel (1972) dan Gardner (1988) telah menyatakan bahwa kubus itu haruslah memiliki nilai tengah 63 (artinya, kubus kecil yang berada di tengah-tengah kubus ajaib memuat angka 63).

Kemudian, pada 14 November 2003, C. Boyer dan W. Trump berhasil menemukan kubus ajaib sempurna dalam orde 5 sebagaimana diilustrasikan di atas (Schroeppel 2003, Augereau 2003, Weisstein 2003). Seperti diperkirakan sebelumnya, kubus itu memiliki nilai tengah: 63!

Gambar 2

Temuan Boyer dan Trump ini menyusul tak lama setelah temuan Trump sebelumnya, atas kubus ajaib sempurna orde 6 untuk pertama kalinya pada 1 September 2003. (Ilustrasi ihat Gambar 2).

Gambar 3

Temuan kubus ajaib sempurna yang dipublikasikan pertama kali ialah yang berorde 7 yang ditemukan oleh Reverend AH Frost dari St John College, Cambridge (1866). Karena Frost menjadi seorang missionaries di Nasik, India, dia menamakan tipe khusus kubus ajaib yang dia bangun dengan nama kubus Nasik. Sesudah itu, Langman (1962) membangun kubus ajaib sempurna yang lain dalam orde 7, begitu juga R. Schroeppel dan Ernst Straus (Wells 1986, p. 72).

Gambar 4

Kubus ajaib sempurna orde 8 pertamakali dibangun oleh Gustavus F dan dipublikasikan pada 11 Maret 1875 dalam salah satu edisi surat kabar The Cincinati Newspaper. Memoles temuannya dengan nuansa puitis, Frankenstein memberi catatan bahwa “temuan ini memberiku kepuasan lebih besar daripada jika aku menemukan tambang emas di bawah pintu depan rumah; dan kegembiraan seperti ini membuat kemiskinan terasa lebih manis daripada kemewahan Croseus” Konstruksi kubus ajaib sempurna orde 8 didiskusikan dalam Ball dan Coxeter (1987). Rosser dan Walker menemukan kembali kubus ajaib sempurna orde 8 pada akhir 1930-an tapi tidak mempublikasikannya, dan Myers secara terpisah menemukan kubus sebagaimana diperlihatkan di atas pada 1970 (Wells 1986, p).

Frost menemukan sebuah kubus ajaib sempurna orde 9, tapi kubus itu tidak memakai bilangan yang berurutan. Kubus orde 9 pertama ditemukan oleh Planck (1905). Kubus ajaib orde 10 tidak diketahui ada (Gardner 1988, Boyer). Sedangkan kubus orde 11 dan 12 termasuk telah diketahui (Barnard 1888, Benson 1981).

Tabel berikut meringkas daftar temuan kubus ajaib sempurna dan penemunya (Boyer).
n referensi
3 tidak mungkin ada
4 tidak mungkin ada (Schroeppel 1972)
5 Trump and Boyer (Boyer, Weisstein 2003)
6 Trump (Boyer, Weisstein 2003)
7 Frost (1866)
8 Frankenstein (1875)
9 Planck (1905)
10 masih terbuka kemungkinan ditemukan (Boyer)
11 Barnard (1888)
12 Benson (1981)

‘Sumber :
Eric W. Weisstein. “Perfect Magic Cube.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PerfectMagicCube.html
Eric W. Weisstein. “Magic Circles.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/MagicCircles.ht

Magic Circles

Lingkaran Ajaib

Bila Kubus Ajaib Sempurna berkutat pada “menyusun bilangan di setiap kubus kecilnya”, maka Lingkaran Ajaib berkaitan dengan “meletakkan bilangan di setiap titik perpotongan dengan lingkaran lainnya”. Hasilnya bilangan-bilangan di semua titik perpotongan pada satu lingkaran yang sama, bila dijumlahkan akan memperoleh hasil yang sama untuk semua lingkaran. Ilustrasi di bawah ini menggambarkannya dengan jelas bagaimana 2 himpunan lingkaran ajaib masing-masing beranggotakan 3 dan 4 lingkaran memiliki angka konstan (dan ajaib!) masing-masing 14 dan 39 (Madachy 1979).

Gambar 5

Contohnya himpunan lingkaran ajaib sebelah kiri (yang beranggotakan tiga lingkaran). Setiap lingkaran sama-sama memiliki 4 titik perpotongan dengan lingkaran lainnya. Pada lingkaran sebelah atas, tampak penyusunan angka 5, 3, 2, dan 4. Jumlahkan keempat bilangan itu, dan hasilnya pasti akan sama dengan penjumlahan empat bilangan lain di masing-masing lingkaran.

Tipe Lain

Gambar 6

Tipe lain dari lingkaran ajaib ialah penyusunan bilangan 1,2, …,n dalam sejumlah cincin (lingkaran). Setiap cincin berisi elemen dalam jumlah sama, dan setiap elemen di setiap cincin terhubung tepat dengan satu elemen di cincin yang lebih luar (sehingga dapat ditarik garis radial yang membelah titik pusat lingkaran). Satu dari bilangan (yang kemudian diabaikan) diletakkan di pusat lingkaran. Dalam sebuah penyusunan lingkaran ajaib, setiap cincin memiliki penjumlahan yang sama, dan penjumlahan ini sama pula dengan penjumlahan elemen sepanjang diameter (garis radial tadi), kecuali bilangan yang di tengah, itu tidak termasuk dalam penghitungan. Tiga lingkaran ajaib menggunakan bilangan 1 sampai 33 diilustrasikan di atas.

Contohnya lingkaran ajaib paling bawah. Tampak pada cincin terluar tersusun bilangan 6, 4, 21, 14, 30, 2, 29, dan 32. Jumlahkan, dan hasilnya pasti sama dengan penjumlahan –misalnya– bilangan-bilangan pada garis radial yang dimulai dari angka 6 (6, 8, 28, 27, 10, 22, 7, 30). Periksa juga penjumlahan bilangan di cincin dan garis radial lainnya Hasilnya pasti juga sama. Ya, 315!

Itulah dua contoh yang tersaji dalam situs MathWorld (http://mathworld.wolfram.com). Wolfram (Wolfram Research, Inc.) sendiri ialah perusahaan yang didirikan oleh Stephen Wolfram, jenius terkenal yang populer dengan bukunya The New Kind of Science. Salah satu produk Wolfram Research yang banyak dipakai di Indonesia ialah Mathematica.

Bisa jadi, banyak pertanyaan yang muncul setelah membaca tulisan ini. Itu berarti nilai hiburannya sudah mengantar kita pada curiosity yang lebih dalam. Selain Ibu dan Bapak Guru, ataupun buku-buku di perpustakaan kesayangan, Mang Google bisa dijadikan partner yang bageur untuk mencari tahu lebih banyak tentang “recreational mathematics”. Selamat berhibur, dengan matematika!

‘Sumber :
Eric W. Weisstein. “Perfect Magic Cube.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PerfectMagicCube.html
Eric W. Weisstein. “Magic Circles.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/MagicCircles.ht

http://ngirim.wordpress.com/2007/02/24/kubus-dan-lingkaran-ajaib-sebuah-matematika-rekreasional/

Keberpasangan dalam Matematika

Keberpasangan dalam Matematika

Ada suatu faktor yang harus dipahami lebih lanjut, berkenaan dengan kemunculannya dalam “fisika keberpasangan”, yaitu ketakberhinggaan. Bagi para matematikawan umumnya, faktor ∞ selalu didekatkan pada pengertian tak terdefinisi atau tak dapat dimengerti. Apakah anggapan tersebut betul-betul sahih?

Seorang cendikiawan Yunani, Pythagoras, meyakini bahwa jagat raya adalah kumpulan harmoni musik yang sangat indah. Melalui instrumen musik, beliau menemukan hubungan antara angka-angka dan musik. Angka adalah simbol-simbol yang menyusun syair-syair alam. Gerakan benda-benda, planet-planet, dan bintang-gemintang di ruang angkasa bersatu-padu menghasilkan simfoni keharmonisan semesta. Selanjutnya, beliau mengubah bilangan-bilangan dari alat musiknya menjadi sebuah prinsip kehidupan yang pokok. Beliau lalu menyebut filosofi tersebut dengan nama ‘matematika’, sebuah kosa kata yang sangat akrab bagi siapapun yang hidup di era modern ini.

Rumit

Orang kebanyakan mengira bahwa matematika itu sulit, rumit, dan ribet. Sulitnya karena bahasa yang digunakan bukan bahasa sehari-hari, rumitnya karena untuk berbicara dalam bahasa matematika harus menggunakan langkah-langkah metodik yang baku, sedangkan ribetnya karena terkadang metode-metode tersebut sangat tidak mentolelir kealpaan.

Matematika itu tidak seperti gambaran sebagian besar orang. Ia sama sekali tidak menakutkan. Yang penting ditekankan adalah ada sesuatu yang kurang dalam matematika. Semua orang telah mafhum bahwa alam semesta itu mencakup wilayah dari angka nol sampai tak berhingga. Fisika memiliki ruang dan waktu dari v=0 sampai dengan v=∞. Dalam sistem bilangan, angka dimulai dari 0 dan berakhir pada ∞. Namun sejauh ini angka ∞ diyakini tak memiliki hakikat karena tidak bisa dipahami.

Bagaimanakah asal-usul faktor ketakberhinggaan? Semua itu bermula dari Pythagoras. Banyak orang menganggap beliau adalah perpaduan antara Einstein dan Maharesi. Beliau berpandangan bahwa semua hal adalah susunan bilangan-bilangan yang sangat teratur. Beliau membagi sistem bilangan menjadi dua, yakni bilangan ganjil dan bilangan genap, yang masing-masing selalu berdiri sendiri. Akan tetapi, beliau lebih dikenal dengan Teorema Trigonometri tentang hubungan sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Sayangnya, teorema ini justru satu-satunya penyebab rusaknya keharmonisan semesta matematika beliau sendiri.

Pythagoras telah menemukan bahwa jumlah akar dari kuadrat panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku sama dengan panjang sisi miringnya. Di era modern ini, orang-orang biasa menuliskannya dengan notasi: A=√B²+C². Pythagoras memisalkan hubungan teoremanya dengan susunan ubin-ubin persegi pada lantai. Misalnya ada segitiga siku-siku yang memiliki panjang sisi B adalah 3 ubin dan panjang sisi C adalah 4 ubin, maka agar diperoleh sudut siku-siku, 5 ubin harus terpasang tepat pada sisi A.

Suatu hari seorang pengikut Pythagoras, bernama Hippasus, menemukan paradoks menjengkelkan yang menghancurkan kesimetrikan tersebut. Dalam sebuah pelayaran, dia iseng-iseng menyusun 1 ubin untuk sisi B dan 1 ubin lagi untuk sisi C. Namun setelah diusahakan dengan susah-payah, ternyata harus ada ubin-ubin yang dipotong-potong untuk mengisi penuh sisi A, agar sisi B dan sisi C menjadi siku-siku. Dengan memakai prosedur yang sama, Hippasus menemukan bilangan yang bersifat genap dan ganjil secara bersamaan, yaitu √1²+1²=√2. Semua orang di kapal itu tidak bisa menemukan nilai pasti dari √2. Mereka pun sepakat untuk menyembunyikan eksperimen ini, namun tetap saja bocor. Itulah awal dari mimpi buruk ketakberhinggaan.

Meskipun terkesan sepele, implikasi masalah √2 sangat luar biasa. Semua upaya untuk menyatakann √2 sebagai fraksi bilangan utuh telah gagal. √2 bersifat genap dan ganjil secara bersamaan. Sampai sekarang, kita menyebut bilangan seperti itu sebagai bilangan irrasional, bilangan yang tak masuk akal. Ia seharusnya bilangan, tapi ia tidak bisa dituliskan. Bilangan yang bersifat genap dan ganjil secara serentak adalah paradoks, yang kemudian menimbulkan paradoks yang lebih membingungkan, yaitu The Achilles.

Pada masa Yunani kuno, hidup seorang filusuf yang bernama Zeno. Ia mengusulkan paradoks abadi yang terkenal dengan sebutan The Achilles. Achille adalah pelari tercepat di zamannya. Dia berupaya menangkap seekor kura-kura. Akan tetapi, ketika ia mencapai posisi dimana kura-kura mulai bergerak, si kura-kura ternyata telah jauh melampauinya. Lalu ia pun bergegas mengejarnya kembali, tetapi ketika ia sampai di posisi kura-kura kembali, tiba-tiba ia telah ditinggalkannya kembali. Dan ketika Achille berupaya mengejarnya kembali, kasus serupa pun terjadi, terjadi, dan terjadi lagi terus-menerus sampai tak terhingga banyaknya. Sederhananya, yang bergerak cepat tidak akan pernah menyalip yang bergerak lambat, hanya saja jarak yang memisahkan mereka akan semakin berkurang dan berkurang, namun tidak akan pernah habis sama sekali. Ini seperti memasukkan segitiga-segitiga agar memenuhi suatu lingkaran. Tidak ada orang yang bisa dengan pasti menghitung seberapa banyak segitiga yang dibutuhkan untuk mengisi seluruh ruang lingkaran, atau sampai kapan Achille akan mendapatkan kura-kura tersebut.*

Bilangan

Bilangan adalah hal fundamental dalam matematika. Bilangan merupakan bahasa logika yang biasanya ditulis dengan angka-angka. Alam nyata memiliki materi yang cenderung diam pada titik normal v=0. Keadaan tersebut memungkinkan sistem bilangannya berpusat pada angka 0. Angka 0 disebut sebagai bilangan netral, artinya kalau ia ditambahkan bilangan tertentu maka akan menghasilkan bilangan positif dan jika dikurangkan dengan bilangan tertentu maka akan menghasilkan apa yang disebut bilangan negatif. Sistem inilah yang dipakai dalam matematika konvensional.

Matematika konvensional tidak bisa diterapkan dalam alam gaib. Bukankah sifat alam gaib selalu bertolak belakang dengan alam nyata? Selama ini, angka ∞ selalu dipandang dari sudut logika kita semata. Dalam logika mereka, yang kehidupannya cenderung bergerak infinit pada titik v=∞, tentu sistem bilangannya berpusat pada angka ∞. Angka ∞ adalah angka netral di alam gaib, seperti halnya dengan angka 0 di alam nyata. Apabila ∞ ditambah bilangan tertentu maka akan menghasilkan bilangan negatif, sedangkan apabila dikurangkan bilangan tertentu justru akan membuatnya menjadi bilangan positif.

Bilangan positif bersifat konkret, intervalnya ada diantara angka 0 sampai angka ∞. Ambil contoh: saya sekarang mempunyai 2 butir telur, sedangkan kemarin saya memecahkan semua telur milik teman sebangku saya yang jumlahnya ada 5 butir. Kalaupun semua telur yang saya miliki saat ini diserahkan kepadanya, maka saya masih harus mengganti 3 telur lagi. Nah, angka 3 ini masih bersifat abstrak, sehingga dikatakan bernilai negatif. Notasinya dapat dituliskan 2-5=-3. Kasus serupa terjadi kalau saya memiliki telur sangat banyak, bahkan tak terhingga, sampai-sampai memenuhi seluruh kolong langit. Tiba-tiba teman saya mau memberi 2 butir telur lagi. Karena semua telur yang ada di semesta ini telah saya miliki, maka 2 telur tadi masih abstrak, sehingga dikatakan ia bernilai negatif. Notasinya dapat dituliskan ∞+2=-2. Di sini matematika harus dipandang sebagai suatu sistem yang terbagi dalam dua sistem berbeda yang saling berpasangan, yakni sistem yang dibentuk angka netral 0 dan angka netral ∞.

Selama beberapa millenium ini manusia hanya cenderung pada suatu bagian logika saja dan mengabaikan bagian yang lain. Akibatnya, bagian logika yang dibangun angka netral 0 telah dikembangkan menjadi sistem canggih yang bisa membantu berbagai pekerjaan kuantitatif manusia, misalnya kalkulus, geometri, algoritma, dan probabilitas. Dan bagian lpgika yang dibangun angka netral ∞ bahkan baru disadari sekarang.

*Dikutip sepenuhnya dari Seri Mengenal dan Memahami Newton dan Fisika Klasik

(William Rankin)

Foto:mlahanas.de

sumber:

http://netsains.com/2008/12/keberpasangan-dalam-matematika/